dq 좌표계 고찰 1 - dq 좌표계는 왜 쓸까?

모터 제어에서 dq 좌표계를 왜 쓸까? | 좌표계 변환

 

모터 제어를 공부하는 분이라면 교류 전동기를 제어할 때 3상 좌표계에서 dq 좌표계로 변환하여 분석하는 것을 많이 볼 수 있다. 각 좌표계에 대한 간단한 설명을 통해 굳이 좌표변환을 하는 이유를 분석해 보자.

 

3상 좌표계와 dq 좌표계

먼저 3상 좌표계란 통상적으로 사용하는 3상 교류 전동기의 세 상을 다음과 같이 120도 간격의 좌표축으로 표현한 것을 말한다. 반면 dq 좌표계는 서로 직교하는 두 개의 축으로 구성되어 있으며 q축이 d축보다 90도 앞서있다.(여기선 dq 좌표계의 n축 개념은 제외하겠다.)

3상 좌표계와 dq 좌표계

두 좌표계는 다음과 같은 변환행렬을 통해 3상좌표계에서 dq좌표계로 변환할 수 있다.

여기서 θ는 3상 좌표계의 a축을 기준으로 dq 좌표계의 d축이 회전된 정도를 의미한다. 변환행렬 앞에 계수는 2/3과 sqrt(2/3)이 사용이 되는데 모터를 분석할 때 기준이 되는 물리량을 고려하여 선정하면 된다. 보통 전압이나 전류 제어 시 사용하는 것은 2/3이며, 전력이나 토크를 계산할 때는 sqrt(2/3) 계수를 사용한다.

 

 

정지 좌표계 Stationary Reference Frame

만약 θ를 0으로 잡는 다면 d축은 a축과 나란하게 되며, 이는 고정자의 a상을 기준으로 좌표계가 정지되어 있음을 의미한다. 따라서 이 좌표계를 고정자 기준 좌표계(Stationary Reference Frame) 또는 정지 좌표계라고 부른다. 이 좌표계의 d, q축을 표기하는 방법으로 사람 마다 차이가 있지만 주로 ds, qs (stationary의 약자) 또는  α, β로 표현하기도 한다.

기존의 3상 좌표계에서 3개였던 성분들을 2개의 성분으로 줄여주는 장점이 있기 때문에 간단히 수학적으로 모터를 분석할 수 있다. 그러나 회전자가 회전하면서 시간에 따라 변하는 인덕턴스 및 자속 등의 변화로 인해 여전히 해석이 힘들다는 단점이 있다.

 

회전자 좌표계 Rotor Reference Frame

기본적으로 모터의 회전자(Rotor)는 회전 운동을 한다. 따라서 이 회전자 입장에서 좌표계가 설정된다면 모터를 분석하는데 더 용이할 수 있다. 이러한 개념에서 나온 것이 회전자의 자속방향을 기준으로 d축을 설정한 회전자 자표계이다. 기본적으로 PMSM과 같은 동기 전동기들에 경우 고정자 전류가 형성하는 회전자계와 회전자가 동기되어 같이 회전하기 때문에 회전자계 좌표계, 동기 좌표계 등으로도 불리운다.

고정자 3상 전류에 따른 회전자계 형성

회전자계에 따른 회전자 회전

 

좌표계 변환을 위해서는 모터를 제어하는 동안 엔코더나 레졸버 같은 장치를 통하여 모터의 회전자 위치를 위 식 속 θ에 실시간으로 대입하여 계산하면 된다. 이처럼 계속해서 회전자 자속 방향으로 d축을 맞춤으로써, 모터의 수학적 모델 속에 있던 회전자 위치에 관한 변수들이 회전자 좌표계에서는 사라지게 된다. 이는 시간에 따른 변수가 사라진다는 의미이기도 하여 모터를 해석하고 제어하는데 큰 도움이 된다.

또한, 3상의 교류가 각각 120도 차이로 평형되어 있고 크기가 일정하다면 회전자 좌표계로 변환 시 두 축에서 모두 직류 성분으로 보인다. 더욱이 SPMSM에서나 d축 전류를 0으로 고정한 전류제어에선 q축 전류만 고려하면 되기 때문에 직류 전동기에서의 제어 기법을 적용할 수 있어 매우 단순해진다.

 

아래는 각 좌표계 변환을 위한 변환행렬들을 정리한 그림이다. 참고로 이중에서 특별히 동기 전동기의 정지 좌표계에서 화전자 좌표계로의 변환을 Park's Transformation이라 하고, 3상 좌표계에서 정지 좌표계로의 변환을 Clarke's Transformation이라 한다고 한다.

 

 

결론.

1. 고려할 물리량의 성분 갯수가 3개에서 2개로 줄어든다.

2. 회전자를 기준으로 잡으면 모터 모델링에서 시변항이 사라져 교류 분석에 용이하다.